Makeham’s Generalised Distribution
Chair and Department of Computer Science and Statistics
Pomeranian University in Słupsk, Słowiańska 8, 76-200 Słupsk, Poland
Received:
Rec. September 21, 2007
DOI: 10.12921/cmst.2007.13.02.113-120
OAI: oai:lib.psnc.pl:635
Abstract:
The aim of this publication is to present a new probability distribution which for particular parameter values has a bimodal density function and a bathtub hazard rate function. All the main reliability properties of such distribution will be described in details in this paper. Such a distribution can constitute a very good mathematical model that would enable the description of the lifetime of technical devices. It can successfully be implemented in the planning of a burn-in procedure and a preventive maintenance of non-repairable devices.
Key words:
bathtub hazard rate function, bimodal density function, Makeham’s distribution
References:
[1] R. E. Barlow and F. Proshan, Statistical theory of reliability and life testing, Holt, Reinhard and Winston Inc. 1975.
[2] D. Bobrowski, Modele i metody matematyczne teorii niezawodności w przykładach i zadaniach, WNT, Warszawa 1985.
[3] D. R. Cox and D. Oakes, Analysis of survival data, Chapman and Hall 1990.
[4] B. S. Dhillon, A hazard rate model, IEEE transactions on Reliability 29 (1979).
[5] A. Drapella, A simple burn-in efficiency measure 6-th Symposium “Relectronics”, Budapest, Hungary, 1985.
[6] A. Drapella, Acceleration of burn-in by thermal cycling. European Reliability Conference “Rel-Con Europe 86”. Copenhagen, Denmark, 1986.
[7] A. Drapella, Beware of the hazard rate models, Conference “Rel-Con Europe 86”. Copenhagen, Denmark, 1986.
[8] A. Drapella, Metodologia statystycznej predykcji niezawodności elementów elektronicznych na podstawie wyników technicznych prób forsownych, Zeszyty Naukowe Politechniki Gdańskiej, Elektronika, Zeszyt LXII (1986).
[9] A. Drapella, Inżynieria niezawodnościowa, Warszawa 2000.
[10] A. Drapella and S. Kosznik, Combining preventive replacement and burn–in procedures, Quality and Reliability Engineering International 18, 423-427 (2002).
[11] Encyclopedia of Statistical Sciences, Wiley, New York, 1982.
[12] S. Firkowicz, Statystyczne badanie wyrobów, Warszawa 1970.
[13] B. W. Gniedenko, J. K. Bielajew and A. D. Sołowiew, Metody matematyczne w teorii niezawodności, WNT, W-wa 1968.
[14] O. Hryniewicz, Własności jednowymiarowych i wielowymiarowych rozkładów beta, Metody statystyczne w sterowaniu jakością, Zakł. Narod. im. Ossolińskich, Wrocław 1977.
[15] F. Jensen and N. F. Petersen, Burn-in. An engineering approach to the design and analysis of burn-in procedures. Wiley, 1982.
[16] J. H. K. Kao, A graphical estimation of mixed Weibull parameters in life testing of electron tubes, Technometrics 1 (1959).
[17] B. Kopociński, Zarys teorii odnowy i niezawodności, PWN, Warszawa 1973.
[18] S. Kosznik, The modified Makeham lifetime model an overview, Słupskie Prace Matematyczno-Przyrodnicze 12 (1999).
[19] Kosznik S. Zrównoważenie procedury pracy próbnej i obsługi profilaktycznej w przypadku siodłowej funkcji ryzyka, Praca doktorska, PG Gdańsk, 2003.
[20] S. Kosznik-Biernacka, Zrównoważenie procedury pracy próbnej i obsługi profilaktycznej w przypadku zmodyfikowanego rozkładu Makehama, Słupskie Prace Matematyczno-Fizyczne 3 (2005).
[21] S. Kosznik-Biernacka, Rodzina rozkładów Makehama, PAP w Słupsku, 2006.
[22] J. Mφltoft, Behind The “Bathtub” – Curve a New Model and Its Consequences, Microelectronics and Reliability 23(3) 489-500 (1983).
[23] M. A. K. Malik, A note on the physical meaning of the Weibull distribution, IEEE Trans. Reliab. 24(1) (1975).
[24] E. J. Muth, Moments expressed in terms of the hazard rate function and applications, Microelectronics and Reliability 13 (1974).
[25] A. D. Sołowjew, Analityczne metody w teorii niezawodności, WNT, Warszawa 1983.
[26] E. W. Stacy, A generalization of the gamma distribution, Annals Mathem. Statis 33 (1962).
[27] P. Sulewski, Zastosowanie numerycznych metod estymacji uogólnionego rozkładu gamma w badaniach niezawodnościowych, Praca doktorska, IBS, Warszawa 2001.
[28] H. Urban, A reliability distribution with increasing, decreasing, constant and bathtub shaped failure rates, Technometrics 22(1) (1980).
[29] K. L. Wong, The Bathtub and Flat Earth Society, IEEE Transactions on Reliability 38(4) (1989).
[30] K. L. Wong, The Roller-Coaster Curve is in, Quality and Reliability Engineering International 5 (1989).
The aim of this publication is to present a new probability distribution which for particular parameter values has a bimodal density function and a bathtub hazard rate function. All the main reliability properties of such distribution will be described in details in this paper. Such a distribution can constitute a very good mathematical model that would enable the description of the lifetime of technical devices. It can successfully be implemented in the planning of a burn-in procedure and a preventive maintenance of non-repairable devices.
Key words:
bathtub hazard rate function, bimodal density function, Makeham’s distribution
References:
[1] R. E. Barlow and F. Proshan, Statistical theory of reliability and life testing, Holt, Reinhard and Winston Inc. 1975.
[2] D. Bobrowski, Modele i metody matematyczne teorii niezawodności w przykładach i zadaniach, WNT, Warszawa 1985.
[3] D. R. Cox and D. Oakes, Analysis of survival data, Chapman and Hall 1990.
[4] B. S. Dhillon, A hazard rate model, IEEE transactions on Reliability 29 (1979).
[5] A. Drapella, A simple burn-in efficiency measure 6-th Symposium “Relectronics”, Budapest, Hungary, 1985.
[6] A. Drapella, Acceleration of burn-in by thermal cycling. European Reliability Conference “Rel-Con Europe 86”. Copenhagen, Denmark, 1986.
[7] A. Drapella, Beware of the hazard rate models, Conference “Rel-Con Europe 86”. Copenhagen, Denmark, 1986.
[8] A. Drapella, Metodologia statystycznej predykcji niezawodności elementów elektronicznych na podstawie wyników technicznych prób forsownych, Zeszyty Naukowe Politechniki Gdańskiej, Elektronika, Zeszyt LXII (1986).
[9] A. Drapella, Inżynieria niezawodnościowa, Warszawa 2000.
[10] A. Drapella and S. Kosznik, Combining preventive replacement and burn–in procedures, Quality and Reliability Engineering International 18, 423-427 (2002).
[11] Encyclopedia of Statistical Sciences, Wiley, New York, 1982.
[12] S. Firkowicz, Statystyczne badanie wyrobów, Warszawa 1970.
[13] B. W. Gniedenko, J. K. Bielajew and A. D. Sołowiew, Metody matematyczne w teorii niezawodności, WNT, W-wa 1968.
[14] O. Hryniewicz, Własności jednowymiarowych i wielowymiarowych rozkładów beta, Metody statystyczne w sterowaniu jakością, Zakł. Narod. im. Ossolińskich, Wrocław 1977.
[15] F. Jensen and N. F. Petersen, Burn-in. An engineering approach to the design and analysis of burn-in procedures. Wiley, 1982.
[16] J. H. K. Kao, A graphical estimation of mixed Weibull parameters in life testing of electron tubes, Technometrics 1 (1959).
[17] B. Kopociński, Zarys teorii odnowy i niezawodności, PWN, Warszawa 1973.
[18] S. Kosznik, The modified Makeham lifetime model an overview, Słupskie Prace Matematyczno-Przyrodnicze 12 (1999).
[19] Kosznik S. Zrównoważenie procedury pracy próbnej i obsługi profilaktycznej w przypadku siodłowej funkcji ryzyka, Praca doktorska, PG Gdańsk, 2003.
[20] S. Kosznik-Biernacka, Zrównoważenie procedury pracy próbnej i obsługi profilaktycznej w przypadku zmodyfikowanego rozkładu Makehama, Słupskie Prace Matematyczno-Fizyczne 3 (2005).
[21] S. Kosznik-Biernacka, Rodzina rozkładów Makehama, PAP w Słupsku, 2006.
[22] J. Mφltoft, Behind The “Bathtub” – Curve a New Model and Its Consequences, Microelectronics and Reliability 23(3) 489-500 (1983).
[23] M. A. K. Malik, A note on the physical meaning of the Weibull distribution, IEEE Trans. Reliab. 24(1) (1975).
[24] E. J. Muth, Moments expressed in terms of the hazard rate function and applications, Microelectronics and Reliability 13 (1974).
[25] A. D. Sołowjew, Analityczne metody w teorii niezawodności, WNT, Warszawa 1983.
[26] E. W. Stacy, A generalization of the gamma distribution, Annals Mathem. Statis 33 (1962).
[27] P. Sulewski, Zastosowanie numerycznych metod estymacji uogólnionego rozkładu gamma w badaniach niezawodnościowych, Praca doktorska, IBS, Warszawa 2001.
[28] H. Urban, A reliability distribution with increasing, decreasing, constant and bathtub shaped failure rates, Technometrics 22(1) (1980).
[29] K. L. Wong, The Bathtub and Flat Earth Society, IEEE Transactions on Reliability 38(4) (1989).
[30] K. L. Wong, The Roller-Coaster Curve is in, Quality and Reliability Engineering International 5 (1989).
